天才學霸？我只是天生愛學習 第118章 突然釋懷的笑了

八點，試卷分發。

試題與昨天也沒有太大的變化，同樣是三道題。

一旦進入做題狀態，李澤翰瞬間收斂起所有心思，專注看向題目，仿佛換了個人。

這道題題目還是很好理解的，意思是說，有2025個核桃被打亂了，放在一個圓周上，每個位置核桃的編號是已知的。

然后在接下來的2025次操作中，每次操作第k個核桃的左右兩個核桃，要證明必然存在某一次，k個核桃兩邊核桃編號，一個比k大，一個比k小。

看到這道題，李澤翰心中就已經有了思路。

初中就學過，遇到存在性問題的證明，第一時間應該想到反證法。

假設這2025次操作中，k兩邊的核桃編號都比k大，或者都比k小。

這種關系是比較難描述的，這個時候，自然而然的就能想到染色法。

這也是在解決存在性問題時的常用方法，染色之后，就能對構成的點線面角等進行數量和性質進行分析，以此來簡化問題，讓問題變得更直觀。

對應到這道題，可以在第k次操作中，對第k個核桃進行染色，比如，染成黃色。

這樣操作之后，所有小于k的核桃都會被染成黃色，而大于k的核桃則都沒有被染色，這樣就能清晰的區分大于k和小于k的兩類核桃。

最后的證明也就變成了，證明在這2025次操作中，必然存在某一次操作，交換了兩個顏色不同的核桃。

再使用反證法，假設每次操作交換的都是同色的核桃。

“那么，這樣做最后能導出什么樣的矛盾呢？”

李澤翰皺眉思考起來。

最開始所有的核桃都沒有被染色，操作完成之后，所有的核桃都被染成了黃色。

這中間存在一個狀態的轉換。

如果只是一個個的核桃進行染色，自然是沒問題的，但現在是染色，加上交換同色的核桃，這很可能導致狀態轉換的失敗。

再加上題目要求證明，那么顯然，這個染色加同色交換的操作會導致染色失敗。

短暫的思考后，李澤翰找到了解題的關鍵。

但還缺了關鍵一步。

怎么證明染色會失敗呢？

李澤翰冥思苦想。

顯然，光是染色核桃還不夠，這很難證明最終的結論。

“我知道了！”

在腦海中一陣推導演算之后，李澤翰腦中靈光一閃。

光是染色核桃不夠，那就再把相鄰核桃的連接邊也染色，可不就大功告成了嗎！

如果相鄰兩個核桃都是黃色的，就把連接兩個核桃的邊也染成黃色。

所以一開始，所有的邊都是沒有染色的，2025次操作結束后，所有的2025條邊都是黃色的。

如果每次交換的核桃都是同色的，那么第k個核桃和與他相鄰的兩條邊的顏色并不會發生變動，交換這個操作不會引起任何狀態的轉移。

只有對第k個核桃進行染色，可能導致邊顏色的變化，如果相鄰兩個核桃是未被染色的，那么這次染色操作不會帶來邊的變化，如果兩個核桃都被染色，那么就有多出兩條被染色的邊。

也就是說，每次操作要么增加0條染色的邊，要么增加2條染色的邊，不可能出現2025條奇數邊的情況，與題設矛盾，證明完成！

“我真是個天才！”

李澤翰心中嘿嘿怪笑，即便他心中也明白，這道題也就初中難度，只要掌握了方法，很輕易就能做出來，但并不妨礙他覺得自己超棒。

回頭看了眼時間，距離八點才過去二十多分鐘。

整個題目思路還是很清晰的，他大多數時間都浪費在思考怎么證明最后的矛盾上了，但二十多分鐘，這個速度已經極快了。

一念及此，他下意識的抬頭向陳輝的位置看去。

然后，他就聽到了嘩啦一聲翻卷的聲音！

“？”

“老大都開始做第三題了？”

“我頂你個肺！”

李澤翰已經不知道該怎么形容自己此時的心情。

老實說，即便已經認清了自己不可能跟那種怪物比的事實，但當這種殘酷的事實發生在眼前時，他還是會感受到打擊。

但真正的勇士，敢于直面慘淡的人生，敢于正視淋漓的鮮血！

“我李澤翰是沒那么容易被打倒的！”

振奮精神，李澤翰看向第二題。

題目很簡潔，也很漂亮，要證明的結論含義也很清楚，就是數列兩項的差值，要小于n的階乘分之一，同時n大于等于2。

看到不等式，小學生……哦，不，初中生就應該知道，應該使用構造法！

構造法主要是通過引入恒等式，對偶式，函數，圖形，數列，讓題目變得更直觀，如果不等式中出現了n這種有規律的項，這個時候就要想到數列了。

比如證明數列項之和，這個時候就應該想到構造一個移項相減的新數列，然后去分析新數列的單調性。

對應這道題，n次冪的形式，則是可以把不等式兩邊拆分成n個相同，或者有通式的式子的乘積，再去比較大小。

李澤翰思路自然涌現，他這些年專攻中學數競，這些基礎知識無比扎實，幾乎看到題目的瞬間，腦海中就已經浮現出了解題思路，只是還需要時間去將這些思路轉化成最后的答案而已。

根號在不等式中顯然是扎眼的，所以可以考慮先處理它，通過觀察，能夠輕易的發現，對式子左邊每一項單獨平方、立方……就能去除掉根號。

這就很容易能夠想到a^(2*3*……*n)-b^(2*3*……*n)這種形式，即可將全部根號去除，并且相減后能消去多余的項，得到(n 1)√(n 1)。

那么就需要構造一個新的數列，ai=

bi=

所以題目要求的不等式就是a2-b2，同時a(i 1)-b(i 1)=(ai)^i -(bi)^i=(ai-bi)(ai^(i-1) ai^(i-2)bi …… aibi^(i-2) bi^(i-1))

(ai)^i -(bi)^i的冪次展開是有現成公式的，任何一個高中生都應該記得這個展開，同時因為冪次展開后面的式子是有規律的，所以可以將它記作Cn。

所以有，

a3-b3=(a2-b2)c2

a4-b4=(a3-b3)c3

……

a(n 1)-b(n 1)=(an-bn)cn

將式子兩邊相乘，約去相同的項，就能得到a(n 1)-b(n 1)=(a2-b2)(c2*c3……cn)，所以(a2-b2)=[a(n 1)-b(n 1)]/(c2·c3……cn)。

而a(n 1)-b(n 1)=(an)^n -(bn)^n，所以a(n 1)-b(n 1)=(a2)^(n*n-1……3*2)-(b2)^(n*n-1……3*2)=(n 1)√(n 1)

最后再來處理Cn。

這種式子，李澤翰根本不用思考就能知道需要用到放縮。

因為an>bn≥n√n=n^(1/n)

所以an^(n-1) an^(n-2)bn …… anbn^(n-2) bn^(n-1)式子中每一項都大于等于n^((n-1)/n)，而Cn有n項，所以cn≥n*n^((n-1)/n)>n*n^((n-1)/(n 1))。

這時再回到剛才的式子，c2*c3……cn=n!*（一坨），當n>2時，n^((n-1)/(n 1))都是大于1的，所以可以只保留第n項，即c2*c3……cn=n!*n^((n-1)/(n 1))。

所以，a2-b22時，前面的式子小于2n/n^2